密码学学习笔记——筑基篇·卷三（环论）

环论

ring啊ring啊ring，爱的和弦铃，yeah！

环(ring)

$(R,+,\cdot)\\\ R指非空集合，+指加法，\cdot指乘法(加法乘法是抽象概念，不是算数加法和乘法)$

加法阿贝尔群：($R,+)$是阿贝尔群
乘法半群：$(R,\cdot)是半群，满足封闭性、结合律$
分配律：$\forall a, b, c\in R$, $a\cdot ( b+ c) = a\cdot b+ a\cdot c$

$(b+c)\cdot a=b\cdot a+c \cdot a$

环可以表示形如 $a_0+a_1\cdot x+\cdots+a_n\cdot x^n\\\text{其中 }a_0,a_1,...a_n\in(R,+,\cdot)$ 的多项式

有限环:环的元素数量是有限的

无限环:环的元素数量是无限的

例1：$整数环(\mathbb{Z},+,\times):$

$(\mathbb{Z},+)是阿贝尔群$

$(\mathbb{Z},\times)满足封闭性、结合律$

$\times 对+满足分配律$

例2：$\text{有理数环 }(\mathbb{Q},+,\times)\text{、实数环 }(\mathbb{R},+,\times)$

例3：$(\mathbb{Z}_n,+,\times)$ 是个环，$n$是正整数

$(\mathbb{Z}_n,+)$是阿贝尔群

$(\mathbb{Z}_n,\times)$满足封闭性、结合律

$\times$对$+$满足分配律 (模运算下)

一些概念

简称$R$为环，$\forall a,b\in R$,有

$\theta:$加法单位元，称零元(zero element)

$-a:a$的加法逆元

$a- b:$ $a+ ( - b)$

$e:$乘法单位元，称单位元

$a^{-1}:a$的乘法逆元

$ab:$ $a\cdot b$

$\frac ab:$ $a\cdot {b}^{- 1}$

含幺交换环(commutative ring with identity)

即使含幺环又是交换环，即有乘法单位元的同时运算满足乘法交换律

例:$整数环(\mathbb{Z},+,\times):$

$(\mathbb{Z},+)是阿贝尔群$

$半群(\mathbb{Z},\times)：单位元1、乘法交换律$

$\times 对+满足分配律$

$\mathbb{Z}是无限含幺交换环$

$\mathbb{Z}_n是有限含幺交换环$

含幺环(ring with identity)：有乘法单位元，乘法部分变为幺半群
交换环(commutative ring)：满足乘法交换律

零元(zero element)

定义： $*$ 是定义在非空集合$A$上的二元运算，$\theta\in A$ ,
如果$\forall a\in A$,都有 $\theta*a=a*\theta=\theta,$
则称θ为零元。

封闭性：左右零元相等且唯一

定理1： $(A,*)$ 是代数结构，$|A|>1$,如果$A$中存在零元$\theta$和单位元$e$,则 $\theta\neq e$ 。

定理2：群中无零元

定理3：$R$是环，$\forall a\in R,\ \theta\cdot a=a\cdot \theta=\theta$

零因子(zero divisor)

定义：环$R$ 中，非零元素 $a,b\in R\left(a\neq\theta,b\neq\theta\right.$)

有 $ab=\theta,$
则称$a$ 和$b$ 为零因子。

例：环$\mathbb{Z}_6:2,3\in\mathbb{Z}_6,(2\times3)$ mod 6=0

环$R$ 中：

有零因子：$\exists a,b\in R\left(a\neq\theta,b\neq\theta\right)$有$ab=\theta$
无零因子：$\forall a,b\in R\left(a\neq\theta,b\neq\theta\right)$,有$ab\neq\theta$

整环(intergral domain)

含幺交换环，$\theta\neq e$ ，且无零因子，称作整环(或一个非平凡的含幺交换环，没有零因子)

$\mathbb{Z}是整环:含幺交换环,无零因子,(非零整数相乘不可能等于0)$

$\mathbb{R}$、$\mathbb{Q}$也是整环

正整数$n>1$：$n$是素数$\Leftrightarrow Z_n$ 是整环,$n$是合数$\Leftrightarrow Z_n$ 不是整环,

平凡环(trival ring)

$R=\{\theta\}$

$环R有(乘法)单位元e:$$e=0\Rightarrow 平凡环$

非平凡环(non-trival ring)

$R\not=\{\theta\}$

$环R有(乘法)单位元e:$$e\not=0\Rightarrow 非平凡环$

域(field)

除环(division ring)

$(R\backslash\{\theta\},\cdot)是群$,不考虑环的零元，乘法可以不满足交换律

域的定义

除环的乘法满足乘法交换律$\Rightarrow$非零元素与乘法构成阿贝尔群，$(R\backslash\{\theta\},\cdot)是$阿贝尔群

$(F,+,\cdot)是一个域,则它满足以下条件:$

$加法阿贝尔群:(F,+)是阿贝尔群$
$乘法阿贝尔群:(F\backslash\{\theta\},\cdot)是阿贝尔群$
$分配律:\forall a,b,c\in F,a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

定理1：域一定是整环，域里没有零因子

无限整环不一定是域：

$\mathbb{Q}、\mathbb{R}$是域
$\mathbb{Z}$不是域：$(\mathbb{Z}\backslash\{0\},\times)$不是阿贝尔群 (不是所有元素都有逆元)

定理2：有限整环一定是(有限)域

性质：

非平凡：包含至少2个元素($\theta和 e，e\neq 0$)
没有零因子

特征(characteristic)

定义：$R$是环，如果存在最小正整数$m$,对于$\forall a\in R$ ,
使得 $ma=\theta$,则称 $m$ 是环$R$的特征。如果这样的$m$不存在，则称 $R$ 的特征是0。记为$Char\ R$。

加法阶

$R$是环，$a\in R$,如果存在最小正整数$k$,使得$ka=\theta$ ($\theta$是环$R$加法阿贝尔群的单位元),则称$k$为$a$的加法阶。

如果这样的$k$不存在，则称$a$是无限加法阶的元素。

定理1：如果环的特征不等于0，环里元素的加法阶就都是有限的，而且都是特征的因子。

定理2：含幺交互环的特征等于0或其单位元的加法阶

例：$Char\ \mathbb{Z}=0$，$Char\ \mathbb{Z}_n=n$

定理3：整环的特征等于0或素数，整环中，单位元的加法阶要么是无限的，要么是素数。

定理4：域的特征等于0或素数；有限域的特征是素数

子环(subring)

定义：$(R,+,\cdot)$是环，$S$ 是 $R$ 的非空子集，如果$(S,+,\cdot)$ 也是环，称$(S,+,\cdot)$是$(R,+,\cdot)$的子环。简称$S$ 是$R$ 的子环，$R$ 是$S$ 的扩环(extension ring)。

例：

$Q是R的子环,R是Q的扩环。$

$Z是Q和R的子环,Q和R是Z的扩环$。

$Z_n不是Z的子环:二者元素和运算不同(Z_n中的元素是剩余类而非整数)$

$mZ是Z的子环(m是整数)$

定义判断子环：非空子集$S\subseteq R$ ($\forall a,b\in S)$

加法阿贝尔群

封闭性：$a+b\in S$

~~结合律：$a+(b+c)=(a+b)+c$~~

~~单位元：$\theta\in S$~~

~~逆元：$-a\in S$~~
乘法半群

封闭性：$ab\in S$

~~结合律：$a(bc)=(ab)c$~~

命题1：$(R,+,\cdot)$是环，$S $是$R$的非空子集，$S$是$R$的子环，当且仅当，$\forall a,b\in S$,$S$满足以下条件：

加法封闭性：$a-b\in S$或满足加法子群：$(R,+)$的子群
乘法封闭性：$ab\in S$

注意：

含幺交换环的子环未必是含幺交换环

例：Z是含幺交换环，它的子环里，只有它本身是含幺交换环，其他的都不是含幺交换环。

整环的子环未必是整环

域的子环未必是域

理想(ideal)

全称：理想子环

定义：$(R,+,\cdot)$是环，$I$ 是 $R$的非空子集。如果$(I,+,\cdot) $满足以下条件：

加法子群：($I$,+)是$(R,+)$的子群，
(乘法)吸收律：$\forall r\in R,\forall a\in I\Rightarrow ra\in I$ $(ar\in I)$,

则称$I$是$R$的左(右)理想。

命题：$(R,+,\cdot)$是交换环，$I $是$R$的理想，$\forall a,b\in I $,$\forall r\in R$,当且仅当，$I$满足以下条件：

加法封闭性：$a+b\in I$
(乘法)吸收律：$ra\in I$

定理1：任何理想都是子环

注意：理想/子环一定包含环的零元，但未必包含环的单位元

定理2：$R$是环，$I$是$R$的理想，$e\in R$,则 $e\in I\Leftrightarrow I=R$

注意：环、子环的单位元并无关系

一些概念

设$R$是环，$I$是$R$的理想：

零理想(zero ideal): $\{\theta\}$ (其他的称为非零理想)
单位理想(unit ideal): $R$自身
平凡理想(trivial ideal): $\{\theta\}$和$R$，(其他的称为非平凡理想)
真理想(proper ideal): $I\subset R$

主理想(principal)

定义：$R$是环，$a\in R$,称$aR (Ra)$为由$a$生成的$R$的左(右)主理想

$(aR=\{ar\mid r\in R\},\quad Ra=\{ra|r\in R\})$

$R$是交换环，$a\in R$,则$aR=Ra$，称之为由于$a$生成的$R$的主理想，记为$(a)$
${\theta}=(\theta)$
$R=eR=Re=(e)\ (含幺交换环)$

定理1：$R$是交换环，$a\in R,(a)$是$R$的理想

性质：环的理想包含元素a，一定包含由a生成的主理想

例：$mZ$是$Z$的主理想(m是整数)

$m\in Z,mZ符合主理想的构造方法$

$Z$的所有理想都是主理想：$(m):=mZ(m是整数)$

素理想(prime ideal)

定义：$I$ 是环$R$ 的真理想。$\forall\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in R$,如果$ab\in I$,有$a\in I$ 或 $b\in I$ ,称$I$是$R$的素理想

$p|ab$,则$p|a$或$p|b$

例1：$m$是素数时，$mZ$是素理想：$a,b\in Z,ab\in3Z$
则 3$|ab$,有3$|a$或3$|b$,即$a\in3Z$或$b\in3Z$

例2：零理想$\{0\}=0\mathbb{Z}$ 是$Z$的素理想：$\boldsymbol a,b\in Z$ , $ab=0\in\{0\}$,则$a=0\in\{0\}$ 或 $b=0\in\{0\}$

例3：$m$是合数时，$mZ$不是素理想：$a=2$和$b=3$,$ab\in6Z$,但$a\in2Z,b\in3Z$

结论：当且仅当，$m$是素数或0时，$mZ$是$Z$的素理想

注意：讨论素理想时，不考虑单位理想，因为它不是真理想

极大理想(maximal ideal)

定义：$M$ 是环R 的真理想。除$R$以外，不存在任何包含$M$的理想，则称$M$ 是$R$ 的极大理想

等价定义：$M$ 是环R 的真理想。对于任意包含$M$的理想$I$,都有$I=M$或$I=R$ ,则称$M$是$R$的极大理想

例：$m$是素数时，$mZ$是$Z$的极大理想

例：零理想{0}不是$Z$的极大理想，因为$Z$的任何(非平凡)理想都包含{0}

小结：$\mathbb{Z}$的3种理想

设$m$是任意整数 $((m):=m\mathbb{Z})$

$(m):$主理想
$(m)$:素理想、极大理想($m$为素数)
$(0):=\{0\}=0\mathbb{Z}$:主理想和素理想(不是极大理想)
$(1):=\mathbb{Z}$:主理想(不是素理想、极大理想)

子域(subfield)

定义：$F$是域，$F^\prime$ 是$F$ 的子环。如果$F^\prime$也是域，称$F^{\prime}$是$F$的子域，$F$ 是 $F^\prime$ 的扩域 (extension field)。

域的理想

定理：域没有非平凡理想(只有零理想和单位理想)

推论：零理想是域的极大理想

定理：零理想是含幺交换环的极大理想，当且仅当，这个环是域

商环(quotient ring)

$R$是环，$I$是$R$的理想

$(I,+)\xrightarrow{\text{正规子群}}(R,+)$ $(R/I,+):=\{[a]_I\mid a\in R\}$ $[a]_I=a+I:=\{\begin{array}{c}a+t|t\in I\}\end{array}$ $[a]_I\cdot[b]_I:=[ab]_I$

只有单位理想构造的商环是平凡的

商环 ($R/I,+,\cdot)$

又称 $R$模$I$的剩余类环

加法：$[a]_I+[b]_I:=[a+b]_I$

乘法：$[a]_I\cdot[b]_I:=[ab]_I$

零元：$[\theta]_I=\{\theta+t|t\in I\}=\{t\in I\}=I$

单位元：$[e]_I=\{e+t|t\in I\}$

例：商环$Z_n$$(n$是正整数)

$Z$是环 $nZ$是双边理想

$(nZ,+)$是$(Z,+)$的正规子群

$(Z_n,+):=(Z/nZ,+)$是商群

$(Z_n,+,\cdot):=(Z/nZ,+\cdot)$是商环

双边理想(two-sided ideal)

定义：$(R,+,\cdot)$是环，$I $是$ R$ 的非空子集。如果$(I,+,\cdot)$ 满足以下条件：

加法子群$:(I,+)$是$(R,+)$的子群，
(乘法)吸收律：$\forall r\in R,\forall a\in I\Rightarrow ra,ar\in I$,

则称$I$是$R$ 的双边理想。

单边理想(one-sided ideal):左理想、右理想
交换环的理想都是双边理想
单位理想$R$是双边理想

商环的理想

理想是一种子环$\Rightarrow$ 商环的理想是商环的子环

$R$是环，$I$是$R$的双边理想，$R/I$是相应的商环
$K/I=\{[a_1]_I,[a_2]_I,…\},a_1,a_2\in K$, $K$是$R$的双边理想，$I$ 是$K$ 的双边理想。

something special

$R:$含幺交换环

定理1：$I$ 是素理想$\Leftrightarrow R/I$ 是整环
定理2：$I$ 是极大理想$\Leftrightarrow R/I$ 是域(域是整环)
定理3：$M$是极大理想$\Longrightarrow M$是素理想
商环$R/I:$零元$[\theta]_I=I$,单位元$[e]_I=e+I$$(R/I$是非平凡的含幺交换环)

环同态

定义：$(R,+,\cdot)和(R^{\prime},\oplus,\odot)是环，\forall a,b\in R,函数$

$f{:}R \to R^{\prime}$满足以下条件：

$f(a+b)=f(a)\oplus f(b)$$ $((R,+)\text{到}(R^{\prime},\oplus)\text{的加法群同态})$ $$f(a\cdot b)=f(a)\odot f(b)$

则称$f$为$R$到$R^\prime$的环同态

$同态核\operatorname{Ker}f:=\{a\in R|f(a)=\theta^{\prime}(R’的零元)\}$

$\text{扩展:}S:=R\Longrightarrow f(R)=Imf，Im f\text{是}R^{\prime}\text{的子环}$

$扩展：S^\prime:=\{\theta^{\prime}\}\Rightarrow f^{-1}(S^{\prime})=f^{-1}(\{\theta^{\prime}\})=Kerf,同态核Ker f是R的子环$

$扩展：I^\prime:=\{\theta^{\prime}\}\Longrightarrow f^{-1}(I^{\prime})=f^{-1}(\{\theta^{\prime}\})=Kerf,同态核Kerf是R的理想$

同态核是双边理想

设$f{:}R\to R^{\prime}$是环同态：

定理1：环同态是单射$\Leftrightarrow Kerf=\{\boldsymbol{\theta}\}$
定理2：环同态是满射$\Leftrightarrow I\boldsymbol{m}f=R^\prime$

设$f:R\to R^{\prime}$是环同态，$\forall a\in R:$
性质1：$f(ka)=k f(a),k\in \mathbb{Z}$
性质2：$f(a^k)=f(a)^k,k\in\mathbb{N}$

$f是满同态,R是含幺环:$

性质3$:f(a^k)=f(a)^k,\quad k\in Z,\quad a\text{有乘法逆元}$
性质4$:f(e)=e^{\prime},\quad e^{\prime}\text{是}R^{\prime}的单位元$

环的理想对应同态像的理想，同态像的理想反穿越后一定是定义域的理想。

环同态的复合

定理：$f$是$R$到$R^\prime$的环同态，$f^\prime$是$R^{\prime}$到$R’’$的环同态，则$f$和$f^\prime$的复合 $f^{\prime}\circ f{:}R\to R^{\prime\prime}$ 也是环同态

嵌入映射

自然映射

例

单位(unit)

有乘法逆元的元素称为单位

定义：设环$R,a\in R$是，如果$\exists b\in R$,使得 $ab=ba=e,$ 则称$a$为单位

单位群(group of units)

定义：

设环$R$,称

$R^*:=\{a|a\in R,a 是单位\}$

为R的单位群。

$R^*$ 是乘法群，单位元是$e (e\in R)$

$Z_n^*{:}Z_n\text{的单位群}$

环同构(ring isomorphism)

双射(单射&满射)
环同态

$R$与 $R^{\prime }$同构，记为$R\cong R^\prime$
$R$与$R$之间的同构：环自同构(ring automorphism)

(环)第一同构定理(first isomorphism theorem)

定理：设环$R$和$R^\prime,f{:}R\to R^\prime$是环同态(同态核是$Kerf$,同态像是$Imf$),则

$R/Kerf\cong Imf$ $\rho:\quad[a]_{Kerf}\quad f(a)$

$\rho^{\prime}:R/Kerf\to R^{\prime}\text{ 单一同态}$

中国剩余映射

环同态 $f{:}Z\to Z_{n_1}\times\cdotp\cdotp\cdotp\times Z_{n_m}$

$a\quad f(a)=([a]_{n_1},...,[a]_{n_m})$ $n_i|a\Leftrightarrow[a]_{n_i}=[0]_{n_i}$ $n_1|a,...,n_m|a\Leftrightarrow([a]_{n_1},...,[a]_{n_m})=([0]_{n_1},...,[0]_{n_m})$

$\Leftrightarrow a\in Kerf$
$\Leftrightarrow a\in nZ\Leftrightarrow nZ=Kerf$

环同构(中国剩余映射) $\rho{:}Z_n\to Z_{n_1}\times\cdotp\cdotp\cdotp\times Z_{n_m}$
$[ a]$ $\rho ( a) = \left ( [ a] _{n_1}, . . . , [ a] _{n_m}\right ) ( = f( a) )$

环同构$\rho{:}R\to R^{\prime}$
(乘法)群同构 $\overline {\boldsymbol{\rho }}{: }R^* \to R^{\prime * }$ $(R ^* \cong R ^{\prime * })$

(中国剩余映射) $\rho{:}Z_n\to Z_{n_1}\times\cdotp\cdotp\cdotp\times Z_{n_m}$
(乘法)群同构 $Z_n^*\cong Z_{n_1}^*\times\cdots\times Z_{n_m}^*$
$[a]\quad([a]_{n_1},…,[a]_{n_m})$

多项式环(polynomial ring)

多项式(polynomial)

$f(x)=\sum_{i=0}^ka_ix^i=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k$

$a_0,a_1,…,a_k\in R$

$x为不定元，a_i为系数，a_0常数项，a_k首项系数，k为非负整数叫多项式的度(deg(f(x)))$

多形式环(polynomial ring)

定义：所有关于不定元$x$、系数属于环$R$的多项式
$f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k$

$a_0,a_1,...a_k\in R$

形成的环，称为$R$上的多项式环，记为$R[X]$。

$R$叫$R[X]$的基环(base ring)。

$\begin{aligned}&f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k\\&g(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_mx^m\\&\text{加法:}f(x)+g(x)=c_0+\cdots+c_t\cdot x^t\\&t=max(k,m)\\&c_{i}=a_{i}+b_{i}, i=0,1,...,t\\&\text{乘法:}f(x)g(x)=c_0+\cdots+c_t\cdot x^t\\&t=k+m\\&c_{s}=\sum_{i=0}^{s}a_{i}b_{s-i}, s=0,1,...,t\end{aligned}$

注意： $f(x)g(x)\text{在}b\text{的取值未必等于}f(b)g(b)(乘法交换律)$

多项式除法(polynomial division)

设域$F,f(x),g(x)\in F[X],g(x)\neq\theta$。存在唯一的$q(x),r(x)\in F[X]$,使得
$f(x)=q(x)g(x)+r(x),\quad deg(r(x))<deg(g(x))$

一些性质

$f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k；\quad g(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_mx^m$ $deg(f(x)+g(x))\leq max(deg(f(x)),deg(g(x)))\\deg(f(x)g(x))\leq deg(f(x))+deg(g(x))$ $f(x)g(x)=a_0b_0+\cdots+a_kb_mx^{k+m}$

$R$是整环，则 $deg(f(x)g(x))=deg(f(x))+deg(g(x))$

$R=\{\theta\}\Leftrightarrow R[X]=\{\theta\}$
$S$是$R$的子环$\Leftrightarrow S[X]$是$R[X]$的子环
$R$ 是含幺环$\Leftrightarrow R[X]$是含幺环 (单位元都是$e)$
$R$ 是交换环$\Leftrightarrow R[X]$ 是交换环
$R$ 是整环$\Longrightarrow R[X]$ 是整环
$F$ 是域$\Longrightarrow F[X]$ 是整环$(F[X]$不是域)

常数多项式 (constant polynomial)

$a\in R$可以看成只有常数项的多项式

$a=a+\theta x+\cdots+\theta x^k,$

称为常数多项式。
$R$是$R[X]$的子环 $R[X]$ 的零元：零多项式$\theta$

首一多项式

定义：设 $R$是含么环，$f(x)\in R[X],f(x)$的首项系数是单位元$e$,$f(x)$叫首一多项式。
例：设$a,b\in F$,则$a+bx+x^2$ 是首一多项式，因为首项系数(最高项$x^2$的系数)为$e$

$f(x)\in F[X],f(x)$的首项系数是$a_k,g(x)=a_k^{-1}\cdot f(x)$,则$g(x)$是首一多项式
易知，$deg(f(x))=deg(g(x))$

域上多项式

域$F$
多项式环$F[X]$

最大公因式

必然存在$b_1(x),…,b_n(x)\in F[X]$,有

$d(x)=b_1(x)f_1(x)+\cdots+b_n(x)f_n(x)$

如果 $gcd(f_1(x),…,f_n(x))=e$,称$f_1(x),…,f_n(x)$互素

$gcd(f_1(x),...,f_n(x))=gcd(gcd(f_1(x),f_2(x)),...,f_n(x))$

多项式上的欧几里得算法

求$f(x),g(x)\in F[X]$的最大公因式
$f\left(x\right)=q_{1}\left(x\right)g\left(x\right)+r_{1}\left(x\right)$
$g(x)=q_{2}(x)r_{1}(x)+r_{2}(x)$
$r_{1}(x)=q_{3}(x)r_{2}(x)+r_{3}(x)$
……
$r_{n-2}(x)=q_n(x)r_{n-1}(x)+r_n(x)$
$r_{n-1}(x)=q_{n+1}(x)r_n(x)$

$\text{设 }r_n(x)\text{首项系数为 }a_k(\neq e)\\gcd(f(x),g(x))=a_k^{-1}\cdot r_n(x)$

最小公倍式

定理：设域$F,f_1(x),…,f_n(x)\in F[X],\forall f_i(x)\neq\theta (1\leq i\leq n$)。存在唯一的首一多项式$m(x)\in F[X]$,使得
$f_1(x)|\boldsymbol{m}(x),…,f_n(x)|\boldsymbol{m}(x)$
$\forall c(x)\in F[X],f_1(x)|c(x),…,f_n(x)|c(x)$,则$m(x)|c(x)$
$m(x)$称为$f_1(x),…,f_n(x)$的最小公倍式

$\begin{aligned}&\text{非零多项式}f(x),g(x)\in F[X]\text{,则}\\&a_k^{-1}\cdot f(x)g(x)=lcm(f(x),g(x))\cdot gcd(f(x),g(x)),\\&\text{其中,}a_k\text{ 是}f(x)g(x)\text{的首项系数}\end{aligned}$ $lcm(f_1(x),...,f_n(x))=lcm(lcm(f_1(x),f_2(x)),...,f_n(x))$$$

多项式环的理想

加法子群→理想

环$Z$:加法子群$(mZ,+)\to$理想$(Z,+,\times)$
环$Z_n$:加法子群 ($mZ_n,+)\to$理想 ($mZ_n,+,\times)$

定理:$设a\in R\text{,则 }J=\{g(x)\in R[X]|g(\alpha)=\theta\}\text{是}R[X]的理想。$

定理：$F[X]$ 是主理想整环。$F[X]$的每个非零理想$J$,都存在唯一的首一多项式$g(x)\in F[X]$,有$J=(g(x))$。(理想都是主理想的整环，称主理想整环)

$F[X]$ 是主理想整环$\Longrightarrow F[X]$ 的理想都是主理想
$F[X]$的理想都可以写成 $(f(x))$ 的形式，$f(x)\in F[X]$

$\begin{aligned}\left(f(x)\right)&=\{f(x)c(x)\mid c(x)\in F[X]\}\\&=\{c(x)f(x)\mid c(x)\in F[X]\}\end{aligned}$

$\exists g( x) \in F[ X]$, $g( x)$是唯一的首一多项式，使$\left(f(x)\right)=\left(g(x)\right)$

不可约多项式 (irreducible polynomial)

定义：设域$F$,$p(x)\in F[X]$。如果$deg(p(x))>0$,$p(x)=$ $b(x)c(x)$,则$deg(b(x))=0$或$deg(c(x))=0$(其中一个是常数多项式),称$p(x)$在$F$上不可约的(又称在 $F[X]$里不可约的或素的)

$F[X]$中的唯一分解

定理：$\forall g(x)\in F[X]$, $deg(g(x))>0$,则$g(x)$可唯一地写成如下形式：

$g(x)=ap_1^{e_1}(x)p_2^{e_2}(x)...p_k^{e_k}(x),$

其中，$a\in F,p_1(x),p_2(x),…,p_k(x)\in F[X]$是彼此不同的首一不可约多项式，$e_1,e_2,…,e_k\in\mathbb{N}$。

代数扩域

扩域:$K$是$F$的子域，$F$就是$K$的扩域或扩张(extension)
真子域:$K$还是$F$的真子集，则$K$是$F$的真子域
素域(prime field):没有真子域的域

定理1：域$F$所有子域的交集$K$构成它的素子域。

定理2：设$K$是$F$的子域，集合$M\subseteq F$,记 $K(M)$ 是$F$所有包含$K$和$M$的子域的交集。
$(1)K(M)$是$K$的扩域。
$(2)K(M)$是包含$K$和$M$的最小子域。

素域的任何真子集都不可能构成它的子域
素域的任何子域都是它本身

例：有理数域是素域

代数扩域(algebraic extension field)

定义：$K$是$F$的子域，则

(1) 对于$a\in F$,存在非常数多项式$f(\boldsymbol{x})$,其系数来自$K$,有
$f(a)=\theta$,称$a$ 是$K$上代数的。(如果不存在这样的多项式，$a$叫$K$上超越的)

(2)$L$是$K$的扩域。$\forall b\in L$是$K$上代数的，称$L$是$K$的代数扩域或代数扩张 (algebraic extension)。

定理：$J=\{f(x)\in K[X]|f(a)=\theta\}$,存在唯一的首一多项式$g(x)\in K[X]$,有$J=(g(x))$。
定理：以上$g(x)$是$K[X]$中不可约多项式。

极小多项式 (minimal polynomial)

性质：$K$是$F$的子域，$a$是$K$上代数的，相应的极小多项式为

$g(x)\in K[X]$,则：

$g(x)$ 是$K[X]$里的不可约多项式 (证明见上期)
$g(x)\mid f(x)\Leftrightarrow f(x)\in K[X],\:f(a)=\theta$
$g(x)$是$K[X]$里以$a$为根的首一多项式中度最小的
$J=(g(x))=\{f(x)\in K[X]|f(a)=\theta\}$

域的扩张

扩域是向量空间

定理：域是其任意子域上的向量空间

向量空间(vector space)

定义：设$v$是非空集合，$K$的域，$V$中元素称为向量(vector),$K$称为其基域(base field), $K$中元素称为标量(scalar)。

基：最大线性无关向量组

基里向量的个数=向量空间维度$= [ F{: }K]$ $( K$上$F$的度)

n维欧几里得空间$R^n$
实系数度不超过$n$的全体多项式
以实数为定义域和值域的全体连续函数

$V$是$K$上的向量空间,须满足以下条件(或称公理):$\quad\forall X,Y\in V,\forall a,b\in K,e\in K$

加法阿贝尔群:向量间的加法
标量乘法:
- 封闭性:$aX\in V$
- 结合律:$a(bX)=(abX)$
- 单位元: $eX=X$
- 分配律:$a(X+Y)=aX+aY\quad(a+b)X=aX+bX$

有限扩张(finite extension)

定义：设$F$是K的扩域。$F$是$K$上有限维度的向量空间，称$F$是$K$的有限扩张或有限扩域 (finite extension field) 。

有限域是有限维度的向量空间$\Longrightarrow$有限域的度是有限的

每个域可以看作自身的优先扩张：

$[K{:}K]=1$
$[F{:}K]=1\Leftrightarrow F=K$

$[Q(\sqrt2):Q]=2\ 基：\{1、\sqrt2\}$

$Q(\sqrt2)=\{a+b\sqrt2\|a,b\in Q\}$

$[C:R]=2\ 基：\{1、i\}$

$[R:Q]=∞$

定理1：$F$是$L$的有限扩张，$L$是$K$的有限扩张，则$F$是$K$的有限扩张，且
$[F:K]=[F:L][L:K]$

定理2：有限扩张时代数扩张(代数扩域)

单代数扩张(simple algebraic extension)

定义：$F$是$K$的扩域，$a\in F$,且$a$是$K$上代数的，称$K(a)$是 $K$的单
代数扩张或单代数扩域 (simple algebraic extension field)。

定理1:$g(x)\in K[X]是不可约多项式\Rightarrow(g(x))是极大理想$

定理2:$g(x)\in K[X]是K上不可约多项式,则存在K的单代数扩张,它以g(x)的根为定义元素$

定理3:$g(x)\in K[X]$是$K$上不可约多项式，$a,b$是$g(x)$的两个根，则$K(a)\cong K(b)$ (同构为把$a$映射成$b)$

$I$是极大理想$\Leftrightarrow R/I$ 是域($R$是含幺交换环)

$(g(x))$是极大理想$\Leftrightarrow K[X]/(g(x))$ ($K[X]$是含幺交换环)

设$F$是$K$的扩域，$a\in F$是$K$上代数的，$g(x)$是相应的极小多项式，
度为$n$,则:

性质1:$K(a)\cong K[X]/(g(x))$
性质2:$[K(a):K]=n$,且$(e,a,…,a^{n-1})$是$K$上$K(a)$的基
性质3:$\forall b\in K(a)$都是$K$上代数的，相应极小多项式的度都是$n$的因子

$L$是$K$的有限扩张$\Rightarrow L$是$K$的代数扩张
$L$是$K$的有限扩张$\not\Leftarrow L$是$K$的代数扩张

例：R是Q的扩域，$\sqrt2\in R$

(1)$Q(\sqrt{2})$是Q的单代数扩张 ?

$g(x)=x^2-2\in Q[X]$,有$g(\sqrt{2})=0$,则$\sqrt{2}$是Q上代数的，
所以，$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$是Q的单代数扩张。

(2)为什么$[Q( \sqrt {2}) {: }Q] = 2$ ?

事实上，$g(x)=x^2-2$是Q上$\sqrt{2}$的极小多项式。

因为$deg(g(x))=2$,所以$\left[Q(\sqrt{2}){:}Q\right]=2$,即$Q(\sqrt{2})$的基有两个元素

(3)$Q(\sqrt{2})$的元素都长什么样？

基的两个元素：($\sqrt2)^0=1$、($\sqrt{2})^1=\sqrt{2}$

因此，$Q(\sqrt2)=\{b_0+b_1\sqrt2\mid b_0,b_1\in Q\}$

例：$Z_3=\{0,1,2\}$是域，$g(x)=x^2+x+2\in\mathbb{Z}_3[X]$是$\mathbb{Z}_3$上不可约的。

设$a:=[x]\in\mathbb{Z}_3/(g(x))$是$g(x)$的根，即$g(a)=a^2+a+2=0$

因为$deg(g(x))=2$,则$Z_3(a)$的基有两个元素：$1=a^0$和$a=a^1$

所以，$Z_3(a)=\{b_0+b_1a\mid b_0,b_1\in Z_3\}=\{0,1,2,a,a+1,a+2,2a,2a+1,2a+2\}$

$2a+2$也是$g(x)$的根，因为$g(2a+2)=(2a+2)^2+(2a+2)+2=0$
因为$deg(g(x))=2$,则$Z_3(2a+2)$的基有两个元素：1和$2a+2$
所以，$Z_3(2a+2)=\{b_0+b_1(2a+2)\mid b_0,b_1\in Z_3\}=\{0,1,2,a,a+1,a+2,2a,2a+1,2a+2\}=Z_3(a)$

构造单代数扩张

1.$找K上不可约多项式,设为g(x)$
2.$找g(x)的一个根,设为a。单代数扩张就是K(a)$
3.$设deg(g(x))=n,则K(a)的基为: e,a,…,a^{n-1}$
4.$K(a)元素:b_0+b_1a+\cdots+b_{n-1}a^{n-1}\left(b_i\in K\right)$

应用单代数扩张

定理1:$F是K的扩域,a,b\in F,则 K(a,b)=K(a)(b)$

定理2:$F是K的扩域，a_1,…,a_m\in F,则K(a_1,…,a_m)=K(a_1,…,a_{m-1})(a_m)$

定理3:$a_1,…,a_m是K上代数的\Rightarrow K(a_1,…,a_m)$是有限扩张/代数扩张

如何计算 $K(a_1,…,a_m)$ 的扩张维度$[K(a_1,…,a_m){:}K]$

例：求 [$Q(\sqrt2,\sqrt3){:}Q]$

解：$[Q(\sqrt{2}){:}Q]=2,[Q(\sqrt{2})(\sqrt{3}){:}Q(\sqrt{2})]=2$
$\begin{aligned}[Q(\sqrt{2},\sqrt{3});Q]&=[Q(\sqrt{2})(\sqrt{3});Q]\\&=[Q(\sqrt{2})(\sqrt{3});Q(\sqrt{2})][Q(\sqrt{2});Q]\\&=2\times2\\&=4\end{aligned}$

定理4：$L$是K的有限扩张$\Leftrightarrow$存在$a_1,…,a_m\in L$是$K$上代数的，使得$L=K(a_1,…,a_m)$

分裂域(splitting field)

定义(分裂):$L$是$K$的扩域，$f(x)\in K[X]$是非常数多项式 $(deg(f(x))>0),如果f(x)$可以写成一次因式乘积的形式：
$f(x)=b(x-a_1)(x-a_2)…(x-a_m)$ ($b$是$f(x)$首项系数)
其中，$a_1,…,a_m\in L$,称 $f(x)$在$L$里分裂。

定义(分裂域):$f(x)$在$L$里分裂，且$L=K(a_1,…,a_m)$,则称$L$是$K$上$f(x)$
的分裂域。

分裂域是有限扩张/代数扩张

$[L:K]\leq deg(f(x))$

用不可约多项式的一个根$a$构造的域$K(a)$不一定是$g(x)$的分裂域，因为它未必包含$g(x)$的所有根。

$\begin{aligned}&\text{例:}f(x)=3(x^2-2)(x^2-3)(x^2-6)(x^2+1)\in Q[X]\text{,求}f(x)\text{的分裂域}\\&\text{解:}f(x)=3(x^2-2)(x^2-3)(x^2-6)(x^2+1)\\&=3(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\\&(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})(x-i)(x+i)\\&\text{所以,}f(x)\text{的根为}\pm\sqrt{2}\text{、}\pm\sqrt{3}\text{、}\pm\sqrt{6}\text{、}\pm i\text{。}\end{aligned}$
$Q(\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{3},-\sqrt{3},\sqrt{6},-\sqrt{6},i,-i)$ 化简思考过程：

$-\sqrt{2}\in Q(\sqrt{2})$,则$Q(\sqrt{2},-\sqrt{2})=Q(\sqrt{2})$

$\sqrt{3}\notin Q(\sqrt{2}$ ),则$Q(\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{3})=Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$

$-\sqrt{3}\in Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$,则$Q(\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{3},-\sqrt{3})=Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$

$\pm\sqrt{6}\in Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$,则$Q(\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{3},-\sqrt{3},\sqrt{6},-\sqrt{6})=Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$

$i\notin Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$,则$Q(\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{3},-\sqrt{3},\sqrt{6},-\sqrt{6},i)=Q(\sqrt{2},\sqrt{3},i)$

$-i\in Q(\sqrt{2},\sqrt{3},i)$,则$Q(\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{3},-\sqrt{3},\sqrt{6},-\sqrt{6},i,-i)=Q(\sqrt{2},\sqrt{3},i)$

$f(x)的分裂域为Q(\sqrt{2},\sqrt{3},i)(它是包含Q和f(x)所有根的最小扩域)$

定理1(分裂域的存在性和唯一性):对于$\forall f(x)\in K[X]$非常数多项式则存在$K$上$f(x)$的分裂域。而且，任何$K$上$f(x)$ 的分裂域都是同构的